直交座標と極座標でなぜラプラシアン表式が変わるか【物理】

電磁気学で「ラプラシアン(\(\Delta\))」というモノがでてきます。

微分演算子です。

「ポアソン方程式」とか、「ラプラス方程式」とかいった、重要な公式が電磁気学の中にはありまして、それを記述するために「ラプラシアン(\(\Delta\))」という代物が登場するのです。

「ポアソン方程式」「ラプラス方程式」の物理的な意味についてこのページで解説はしません。
(いつか、記事書きたいけども。)

このページで書くのは「ラプラシアン(\(\Delta\))という演算子と、座標系」に関することです。

なぜこのテーマで話すかというと、私がこれに関して大学の時に困ったからです。(困ってばっか)

ひとことで言うと、「ラプラシアン(\(\Delta\))の具体的な表式は、座標系 (直交座標系や極座標系など) によって変わる。」
これがこの記事で腑に落ちてほしいです。

全力で解説します。あくまで私の理解をですが。

ラプラシアン(\(\Delta\))って何
極座標のラプラシアンは違う
極座標系のラプラシアンが直交座標系のラプラシアンと違う形なのは「当然」と書いてあったのを見た
座標系は「言語」、式は「文」、演算子は「文の変換」と対比する
対比をまとめてみる
まとめ

ラプラシアン(\(\Delta\))って何

「ラプラシアン」というのは演算子です。
もう少し詳しく言うと、微分演算子です。関数に作用して微分演算を行います。

スカラー場 (ベクトルの関数になっているスカラー) \(\phi(\vec{r})\)にラプラシアンを作用させたものを、

\(\Delta\phi(\vec{r})\tag{1}\)

と書きます。
「\(\Delta\)」がラプラシアンの記号です。

具体的にラプラシアンはどんな演算かというと、

\(\Delta\phi(\vec{r})=\displaystyle\frac{ \partial^2 \phi(\vec{r}) }{ \partial x^2 }+\frac{ \partial^2 \phi(\vec{r}) }{ \partial y^2 }+\frac{ \partial^2 \phi(\vec{r}) }{ \partial z^2 }\tag{2}\)

と、直交座標系ではこのような演算です。
また次のように説明 (表現) されることもあります。

\(\Delta=\displaystyle\frac{ \partial^2 }{ \partial x^2 }+\frac{ \partial^2 }{ \partial y^2 }+\frac{ \partial^2 }{ \partial z^2 }\tag{3}\)

言っていることは(2)式も(3)式も同じです。

ただこれだけのことです。
ラプラシアン (直交座標系の場合) は、関数を各座標変数で2回微分して足したもの。

ラプラシアン記号(\(\Delta\))自体に本来物理的な意味などはありません。
ただの数学的な記号。ただの演算子です。
(その記号を使っていろいろな物理的な法則を簡単に書けたりします。それだけです。)

極座標のラプラシアンは違う

ふーん、ラプラシアンって、

\(\Delta=\displaystyle\frac{ \partial^2 }{ \partial x^2 }+\frac{ \partial^2 }{ \partial y^2 }+\frac{ \partial^2 }{ \partial z^2 }\tag{3}\)

のことなんだ。
じゃあ、極座標なら、同じ感じで

\(\Delta=\displaystyle\frac{ \partial^2 }{ \partial r^2 }+\frac{ \partial^2 }{ \partial \theta^2 }+\frac{ \partial^2 }{ \partial \varphi^2 }\tag{4}\)

なんだろうな (\(x\)、\(y\)、\(z\)を\(r\)、\(\theta\)、\(\varphi\)に変えただけ)
と、思った人は学生時代のブログ主と同志です。

実際はそれとは異なります。

じつは、ラプラシアンが上記のような形 (各座標変数で2回微分して足したもの) になるのは直交座標系の場合だけです。
極座標系の場合はまったく違う形になるのです。

じっさいどんな形になるか?
答えを言うと、下記のような形になります。

\(\Delta=\displaystyle\frac{1}{r^2}\frac{ \partial }{ \partial r }\left(r^2\frac{ \partial }{ \partial r }\right)+\frac{1}{r^2\sin{\theta}}\frac{ \partial }{ \partial \theta }\left(\sin{\theta}\frac{ \partial }{ \partial \theta }\right)+\frac{1}{r^2\sin^2{\theta}}\frac{ \partial^2 }{ \partial \varphi^2 }\tag{5}\)

ぜんぜん(4)式と違います。
(めちゃめちゃ複雑。)
座標系によってラプラシアンの表式はぜんぜん変わるんです。

例として、\(\phi(\vec{r})\)が、

\(\phi(\vec{r})=2r\cos{\theta}-\cos{\varphi}\tag{6}\)

という関数だとしたら、

\begin{eqnarray}\require{cancel}
\Delta\phi(\vec{r})&=&\displaystyle\frac{1}{r^2}\frac{ \partial }{ \partial r }\left\{r^2\frac{ \partial }{ \partial r }(\color{red}{2r\cos{\theta}-\cos{\varphi}})\right\}\\
&&\ \ \ \ \ +\frac{1}{r^2\sin{\theta}}\frac{ \partial }{ \partial \theta }\left\{\sin{\theta}\frac{ \partial }{ \partial \theta }(\color{red}{2r\cos{\theta}-\cos{\varphi}})\right\}\\
&&\ \ \ \ \ +\frac{1}{r^2\sin^2{\theta}}\frac{ \partial^2 }{ \partial \varphi^2 }(\color{red}{2r\cos{\theta}-\cos{\varphi}})\\
&=&\displaystyle\frac{1}{r^2}\frac{ \partial }{ \partial r }\left(2r^2 \cos{\theta}\right)\\
&&\ \ \ \ \ +\frac{1}{r^2\sin{\theta}}\frac{ \partial }{ \partial \theta }\left(-2r\sin^2{\theta}\right)\\
&&\ \ \ \ \ +\frac{1}{r^2\sin^2{\theta}}\frac{ \partial }{ \partial \varphi }(\sin{\varphi})\\
&=&\displaystyle\cancel{\frac{4\cos{\theta}}{r}}-\cancel{\frac{4\cos{\theta}}{r}}+\frac{\cos{\varphi}}{r^2\sin^2{\theta}}\\
∴\Delta\phi(\vec{r}) &=&\frac{\cos{\varphi}}{r^2\sin^2{\theta}}
\end{eqnarray}

となります。

じつは公式(5)の求め方は、そんなに難しい理論は必要ありません。
簡単に言うと、

直交座標と極座標の変換公式

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=r\sin{\theta}\cos{\varphi}\\
y=r\sin{\theta}\sin{\varphi}\\
z=r\cos{\theta}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

と、偏微分の基本的な公式

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial x } = \frac{ \partial r}{ \partial x }\frac{ \partial }{ \partial r }+\frac{ \partial \theta}{ \partial x }\frac{ \partial }{ \partial \theta }+\frac{ \partial \varphi}{ \partial x }\frac{ \partial }{ \partial \varphi }\\
\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial y } = \frac{ \partial r}{ \partial y }\frac{ \partial }{ \partial r }+\frac{ \partial \theta}{ \partial y }\frac{ \partial }{ \partial \theta }+\frac{ \partial \varphi}{ \partial y }\frac{ \partial }{ \partial \varphi }\\
\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial z } = \frac{ \partial r}{ \partial z }\frac{ \partial }{ \partial r }+\frac{ \partial \theta}{ \partial z }\frac{ \partial }{ \partial \theta }+\frac{ \partial \varphi}{ \partial z }\frac{ \partial }{ \partial \varphi }
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

を使って、ひたすら地道に計算していくだけで導出できます。
ただしこの計算はめっっっちゃくちゃ面倒くさいです!
ブログ主は大学1年生のよく分かっていない時期にこの計算をレポート課題で出されて泣きました。(笑)

この計算に果敢にチャレンジしてみてもよいと思いますが、どんな風に計算が面倒くさいのかだけでも知りたいという方は、下記のサイト様をご覧になってみてください。
眺めると計算の道のりの長さがわかるはずです。

KIT数学ナビゲーション極座標表示におけるっラプラシアン(3次元)

極座標系のラプラシアンが直交座標系のラプラシアンと違う形なのは「当然」と書いてあったのを見た

ところで、ブログ主が大学1年生のとき上記のレポートを書くために本やネットで必死にラプラシアンについて調べていたとき、こんな記載を見ました。
(どの本だったかは覚えていない。でも見たという事実は覚えている。)

直交座標系では、ラプラシアン\(\Delta\)は、

\begin{eqnarray}\Delta=\displaystyle\frac{ \partial^2 }{ \partial x^2 }+\frac{ \partial^2 }{ \partial y^2 }+\frac{ \partial^2 }{ \partial z^2 }\end{eqnarray}

という表式である。
3次元極座標系では、上記とは当然異なる表式になり、

\begin{eqnarray}\Delta=\displaystyle\frac{1}{r^2}\frac{ \partial }{ \partial r }\left(r^2\frac{ \partial }{ \partial r }\right)+\frac{1}{r^2\sin{\theta}}\frac{ \partial }{ \partial \theta }\left(\sin{\theta}\frac{ \partial }{ \partial \theta }\right)+\frac{1}{r^2\sin^2{\theta}}\frac{ \partial^2 }{ \partial \varphi^2 }\end{eqnarray}

という表式になる。
(ブログ主が大学1年生の時どこかで見た記述を再現した文章です)

極座標系のラプラシアンが直交座標系のラプラシアンと違う形なのは「当然」と言われてしまいました。

しかし当時のブログ主は「言うほど当然か?」と思ったのです!

(4)式みたいになるかと思うじゃない? と。

「そんなささいなことに引っ掛かるなよ…」と思われるかもしれませんが、ブログ主の思い出に残っていることなので、私のブログで記事に書かせてもらいます。
(このブログは学生時代の自分に贈りたいという気持ちも込めて書いています。)

大学1年生ならブログ主と同じくらいの理解の人も結構いるのではないでしょうか? (願望含む)

ということで、ブログ主は皆さんに「極座標系のラプラシアンが直交座標系のラプラシアンと違う形になる」ということの (何となくの) イメージがつくようになってほしいです。

そのためにたとえ話を使って、下記にイメージの説明を試みます。

座標系は「言語」、式は「文」、演算子は「文の変換」と対比する

たとえ話をします。

目の前にペンが1本あるとします。

この状況を日本語で表すと、次のようになります。

[文1]
これはペンです。

また、英語で表すと、次のようになります。

[文2]
This is a pen.

[文1]と[文2]はまったく同じ状況を表していますが、日本語と英語なので文の見た目はまったく違います。当たり前ですね。

次に、
目の前にスカラー関数 (スカラー場) \(\phi(\vec{r})=\displaystyle\frac{y}{x}+z\)があるとします。

この状況を直交座標系で表すと、そのまんまですが、次のようになります。

\begin{eqnarray}\phi(\vec{r})=\displaystyle\frac{y}{x}+z\tag{8}\end{eqnarray}

また、極座標系で表すと、次のようになります。

\begin{eqnarray}\require{cancel}
\phi(\vec{r})&=&\displaystyle\frac{y}{x}+z\\
&=&\displaystyle\frac{\cancel{r\sin{\theta}}\sin{\varphi}}{\cancel{r\sin{\theta}}\cos{\varphi}}+r\cos{\theta}\\
∴\phi(\vec{r})&=&\tan{\varphi}+r\cos{\theta}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\phi(\vec{r})=\tan{\varphi}+r\cos{\theta}\tag{9}\end{eqnarray}

(8)式と(9)式はまったく同じ状況を表していますが、直交座標系と極座標系なので式の見た目はまったく違います。

(\(\phi(\vec{r})=\displaystyle\frac{y}{x}+z\)であるが決して、\(\phi(\vec{r})=\displaystyle\frac{\theta}{r}+\varphi\)ではない。(9)式が正しい。)

2つの話をまとめてみましょう。

同じ状況が、日本語 ([文1]) と英語 ([文2]) の2つの言語で表せるが、[文1]と[文2]は見た目がまったく違う。
同じスカラー場が、直交座標系 ((8)式) と極座標系 ((9)式) の2つの座標系で表せるが、(8)式と(9)式は見た目がまったく違う。

2つの話は構造が似ているように思えます。

実際、この2つの話は同じです。
「似ている」ではなく「同じ」です。
まったく同じ構造が違った表れかたをしているのが、上記の2つの話です。

さらに話をつづけます。

[文1]
これはペンです。
を、疑問文に変換すると、次のようになります。

[文1-2]
これはペンですか?

[文1]とくらべると、末尾に「か」がついて「。」が「?」に変わりました。
つぎに、

[文2]
This is a pen.
を、疑問文に変換すると、次のようになります。

[文2-2]
Is this a pen?

[文2]とくらべると、「is」と「this」の順番が入れ替わって「.」が「?」に変わりました。

上記のように、日本語と英語では、文を疑問形に変換するときの変換のルールが違います。
当然ですね。

次に、式
\(\phi(\vec{r})=\displaystyle\frac{y}{x}+z\tag{8}\)
にラプラシアンを演算すると、(3)の公式より、下記のようになります。

\begin{eqnarray}
\Delta\phi(\vec{r})&=&\frac{ \partial^2 }{ \partial x^2 }\left(\color{red}{\frac{y}{x}+z}\right)+\frac{ \partial^2 }{ \partial y^2 }\left(\color{red}{\frac{y}{x}+z}\right)+\frac{ \partial^2 }{ \partial z^2 }\left(\color{red}{\frac{y}{x}+z}\right)
\end{eqnarray}

ちなみにこのつづきを計算すると、
\begin{eqnarray}
\Delta\phi(\vec{r})=\frac{ 2y }{ x^3 }
\end{eqnarray}
となります。
(よかったら確かめてください。)

また、式
\(\phi(\vec{r})=\tan{\varphi}+r\cos{\theta}\tag{9}\)
にもラプラシアンを演算すると、(5)の公式より、下記のようになります。

\begin{eqnarray}
\Delta\phi(\vec{r})&=&\displaystyle\frac{1}{r^2}\frac{ \partial }{ \partial r }\left\{r^2\frac{ \partial }{ \partial r }(\color{red}{\tan{\varphi}+r\cos{\theta}})\right\}\\
&&\ \ \ \ \ +\frac{1}{r^2\sin{\theta}}\frac{ \partial }{ \partial \theta }\left\{\sin{\theta}\frac{ \partial }{ \partial \theta }(\color{red}{\tan{\varphi}+r\cos{\theta}})\right\}\\
&&\ \ \ \ \ +\frac{1}{r^2\sin^2{\theta}}\frac{ \partial^2 }{ \partial \varphi^2 }(\color{red}{\tan{\varphi}+r\cos{\theta}})
\end{eqnarray}

ちなみにこのつづきを計算すると、
\begin{eqnarray}
\Delta\phi(\vec{r})=\displaystyle\frac{2\tan{\varphi}}{r^2\sin^2{\theta}\cos^2{\varphi}}
\end{eqnarray}
となります。
(よかったら確かめてください。)

上記のように、直交座標系と極座標系では、式にラプラシアン演算するときの変換のルールが違います。
(直交座標系なら(3)の公式、極座標系なら(5)の公式で変換する。)

2つの話をまとめてみましょう。

日本語と英語では、文を疑問形に変換するときのルールが異なる。
直交座標系と極座標系では、式にラプラシアン演算をするときのルール (公式) が異なる。

ここでも、この2つの話はまったく同じです。

つまり、「日本語と英語で文を疑問形に変換するときのルールが異なる」のが当たり前だといえるのなら、「直交座標系と極座標系で式にラプラシアン演算をするときのルール (公式) が異なる」のも当たり前でしょう、という見かたをすることができます。

こちらの文で「当然」という言葉が使われているのは、この認識によるものだと思われます。

しかし、いったいどれだけの学生が、裏側にある本質的な部分まで想像して「当然」座標系によってラプラシアンが変わるだろうと思えるでしょうか。
私には今でもやはりそれは酷だと思います。
(大学の先生たちは、そうやって苦しむ中で学生に成長してほしいと思っているのかもですが。)

対比をまとめてみる

ここまでのたとえと直交座標系と極座標系でのラプラシアンの違いについて分かったことを表にまとめてみます。

日本語	直交座標系	英語	極座標系
[状況]目の前にペンが1本ある	スカラー関数\(\phi(\vec{r})\)がある	[状況]目の前にペンが1本ある	スカラー関数\(\phi(\vec{r})\)がある
これはペンです。	\(\phi(\vec{r})=\displaystyle\frac{y}{x}+z\)	This is a pen.	\(\phi(\vec{r})=\tan{\varphi}+r\cos{\theta}\)
文を疑問形に変形	ラプラシアン(\(\Delta\))演算	文を疑問形に変形	ラプラシアン(\(\Delta\))演算
末尾に「か」をつけて「。」を「?」に変える	\begin{eqnarray}\small{ \frac{ \partial^2 }{ \partial x^2 }+\frac{ \partial^2 }{ \partial y^2 }+\frac{ \partial^2 }{ \partial z^2 }} \end{eqnarray}を作用させる	「is」と「this」の順番を入れ替えて「.」を「?」に変える	\begin{eqnarray} &&\small{\displaystyle\frac{1}{r^2}\frac{ \partial }{ \partial r }\left(r^2\frac{ \partial }{ \partial r }\right)}\\ &&\small{\ \ +\frac{1}{r^2\sin{\theta}}\frac{ \partial }{ \partial \theta }\left(\sin{\theta}\frac{ \partial }{ \partial \theta }\right)}\\ &&\small{\ \ +\frac{1}{r^2\sin^2{\theta}}\frac{ \partial^2 }{ \partial \varphi^2 }} \end{eqnarray}を作用させる
これはペンですか?	\begin{eqnarray} \Delta\phi(\vec{r})=\frac{ 2y }{ x^3 } \end{eqnarray}	Is this a pen?	\begin{eqnarray} \Delta\phi(\vec{r})=\displaystyle\frac{2\tan{\varphi}}{r^2\sin^2{\theta}\cos^2{\varphi}} \end{eqnarray}